Atomstruktur

Løsninger

Fysisk meningsfulle løsninger på denne differensialligningen må oppfylle visse betingelser:

• Løsningene ψ (x, y, z) må være kontinuerlige og ha en viss endelig verdi overalt.
• Den totale sannsynligheten for å finne den aktuelle partikkelen et sted i rommet må være lik 1.
• Grensebetingelsene for det spesifikke problemet må tas i betraktning ved løsning av Schrödinger-ligningen. Kvantiseringen av energinivåene (energiegenverdier ${\text{E.}}_{\text{n}}$) og egenfunksjonene ${\text{ψ}}_{\text{n}}$.

Under disse forholdene kan den totale energien E bare anta svært spesifikke verdier, som er bestemt av egenfunksjonene, dvs. løsningene til Schrödinger-ligningen. Som et eksempel, løsningen av Schrödinger-ligningen for

• et elektron i en endimensjonal potensialboks
• Generalisering til tre romlige retninger (x, y, z)

vurderes i alle detaljer. Arbeid gjennom eksemplet godt slik at du kan utvikle en idé om fremgangsmåten for å løse Schrödinger-ligningen. Dette er enklere enn du kanskje tror! I dine betraktninger, husk at vi ikke lenger kan beskrive plasseringen av elektronet nøyaktig (Heisenbergs usikkerhetsprinsipp) og at vi allerede har tatt hensyn til De Broglie-relasjonen over materiebølger når vi utleder Schrödinger-ligningen fra vibrasjonsdifferensialligningen.

Schrödinger-ligningen kan bare brukes nøyaktig på hydrogenatomet (et elektron under påvirkning av kjernen). Siden elektronet i feltet til et proton er et sentralt symmetrisk problem, transformeres Schrödinger-ligningen hensiktsmessig fra det katesiske koordinatsystemet til det sfæriske koordinatsystemet:

Et punkt i rommet P er unikt beskrevet i det kartesiske koordinatsystemet ved å spesifisere romkoordinatene x, y og z. Ekvivalent er beskrivelsen av posisjonen til punktet i rommet ved å spesifisere r, φ og θ. Transformert til polare koordinater, løsninger av formen:

$$\begin{array}{llll}{\rm X}(\text{x}\text{, y}\text{, z)}\mapsto & \text{R (r)}& \cdot & \Phi \text{(}\phi \text{)}\cdot \Theta \text{(}\theta \text{)}\\ & \text{radiusavhengig del}& & \text{vinkelavhengig del}\\ \chi \text{(}\phi \text{,}\theta )(\text{s) =}\sqrt{\frac{\text{1}}{4\pi }}\\ \chi \text{(}\phi \text{´,}\theta )({\text{s}}_{\text{x}})=\sqrt{\frac{3}{4\pi }}cos\phi synd\theta \\ \chi \text{(}\phi \text{,}\theta )({\text{s}}_{\text{y}})=\sqrt{\frac{3}{4\pi }}synd\phi synd\theta \\ \chi \text{(}\phi \text{,}\theta )({\text{s}}_{\text{z}})=\sqrt{\frac{3}{4\pi }}cos\theta \end{array}$$

Finne. Firkantene til løsningene beskriver romlige områder som reflekterer de mulige plasseringene til elektronet. Disse kalles orbitaler. Samtidig kan den tilhørende energitilstanden (egenverdi) beregnes for hver orbital.

Video: struktur atom u0026 SPU (Juli 2022).